Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке Н. Одна высота треугольника делится этой точкой пополам, вторая высота делится в отношении 2: 1, начиная от вершины. Найти отношение, в котором точка Н делит третью высоту.

Я говорю "на сети" и "в сети", и это не оговорки. Я не вижу тут оснований для снобизма :( Что вас не устроило, поясните?

Как ни странно, для решения таких задач важно максимально упростить форму записи соотношений, которые получаются из условия.Треугольник ABC, высоты AA1; BB1; CC1; точка пересечения H;Задано AH/HA1 = 1; BH/HB1 = 2; надо найти CH/HC1;Теорема Ван-Обеля даетAC1/C1B + AB1/B1C = AH/HA1 = 1;BC1/C1A + BA1/A1C = BH/HB1 = 2;Теорема Чевы (без учета ориентированности, что тут не важно) дает(AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1;А найти надо CH/HC1 = CB1/B1A + CA1/A1B;Вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать.Пусть AC1/C1B = a; BA1/A1C = b; CB1/B1A = c; тогда вся эта абракадабра переписывается такa + 1/c = 1; 1/a + b = 2; abc = 1; и надо найти c + 1/b; теперь видно, что эту систему очень легко решить.из второго уравнения 1 + ab = 2a; => 1/c = 2a - 1; тогда из  первого получается 3a - 1 = 1; a =2/3; далее b = 1/2; c = 3;c + 1/b = 5 = CH/HC1;Вы проверьте, мало ли, я тут "в пол глаза" решаю, мог и что-то не так сделать.