ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!

Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая делит гипотенузу на части 30см и 40см. Найдите расстояние от точки деления до катетов.

Дано:∆ АВС - прямоугольный, угол С =90ºСК - бисскетриса. ВК=30АК=40

Решение задачи начнем с рисунка.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Это относится ко всем треугольникам. Из этого отношения следует отношение катетов:ВС:АС=30:40=3:4Пусть коэффициент отношения катетов  будет х.Тогда ВС=3хАС=4хПо т.Пифагора АВ²=ВС²+АС²70²=9х²+16х²=25х²х²=196х=14АС=4*14=56 сВС=3*14=42 смОпустим из точки К перпендикуляр КН на АС ( расстояние от точки до прямой -перпендикуляр)КН║ВС, ∠ А общий ∆ АКН подобен ∆АВС Из подобия АВ:АК=ВС:КН70:40=42:КНКН=1680:70=24 смТем же способом из подобия КМВ и АВС найдем МК=24 (можно проверить).

Но треугольники ВМК и АНК не равны, как может показаться.

В них равные катеты лежат против разных углов. АН=56-24=32 смВМ=42-24=18 см

Найдя КН, можно не находить отдельно расстояние КМ. МКНС - квадрат, т.к. ∠С=90º по условию, ∠КАМ=∠КНС=90º по построению, а диагональ -биссектриса угла С

Точка, лежащая на биссектрисе угла равно удалена от сторон угла. Значит, расстояние от точки деления до катетов одинаковое. Примем его за х. Тогда из подобия двух прямоугольных треугольников с вершинами в точках А и В С=90, получаем

30:40 = х:у, где у - расстояние от перпендикуляра на основание до точки В.  у=4х/3. Из теоремы Пифагора имеем

40^2 = x^2 + (4x/3)^2    x^2 +16x^2/9 = 1600   25x^2/9 = 1600    x^2 = 1600*9/25    x=24.

Расстояние от точки деления до катетов 24 см.