Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 м боковая ее грань наклонена под углом 45 градусов. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды

Пусть Н - середина стороны ВС.

АН⊥ВС как медиана и высота правильного треугольника АВС,

SH⊥ВС как медиана и высота равнобедренного треугольника SBC.

∠SHA = 45° - линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

ΔSOH: ∠SOH = 90°, ∠SHO = 45°, значит это равнобедренный прямоугольный треугольник, тогда

ОН = SH = 4 м,    SH = 4√2 м

ОН - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

ОН = АВ√3/2

АВ = 2 · ОН / √3 = 2 · 4 / √3 = 8√3/3 м

Sбок = 1/2 Pосн · SH

Sбок = 1/2 · 3 · 8√3/3 · 4√2 = 16√6 м²