В треугольнике ABC проведены биссектриса AX, медиана BY, высота CZ. Треугольник XYZ- равносторонний. Докажите, что треугольник ABC- равносторонний.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AZCZY- медиана прямоугольного треугольника проведённая к гипотенузе , значит ZY=AY=YCТак как треугольник XYZ равносторонний , то стороны YX и XZ тоже равны половине стороны АС XY=YZ=ZX=AY=YCЗначит треугольник AXC тоже прямоугольный. Так как медиана проведённая к большей из его сторон равна половине этой стороны.Значит АX - высота, но  AX и биссектриса , а это значит, что треугольник АВС является равнобедренным . Также АX может быть медианой, а это значит что ВХ=ХС ZX- медиана прямоугольного треугольника BZC (CZ⊥AB по условию)Значит ZX=BX=XC, ZX=XY=YZ=YC=YA=AY=YB ⇒  AB=BC=CA