Верно ли, что квадрат длины катета прямоугольного треугольника равен произведению длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу?

Да, верно. Начертите прямоугольный треугольник ACB (C прямой угол), опустите CD высоту. треугольник ABC подобен треугольнику ACD по 2 углам⇒  AB/AC=AC/AD,  AC²=AB*AD (Это в учебнике звучит как катет прямоуг. треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между высотой из прямого угла, и катетом, записывается только как AC=√AB*AD, если возведете AC в квадрат, получится  то, что от Вас требуют доказать)