Конус вписан в пирамиду, основанием которой является прямоугольная трапеция с основаниями, равными 2 и 4. Объём конуса равен 64п/81. Вычислите угол наклона боковых граней к плоскости основания.

Начнем с того, что вспомним: в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны. Следовательно, сумма ее боковых сторон равна 2+8=10, а

каждая боковая сторона равна 5 см.

Угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания образован радиусом окружности основания конуса и высотой треугольников - боковых граней пирамиды.

Нам необходимо знать диаметр основания конуса, который в то же время является высотой трапеции. Опустив высоту к большему основанию из вершины В трапеции, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см и катетами один =3 см (полуразность оснований) ивторой - высота трапецииh= D основания конусаh²=25-9=16D=h=√16=4 смr=2смДля нахождения высоты конуса ( и пирамиды) применим формулу объёма конуса V= ⅓ S H= ⅓ π r² HОбъём конуса по условию равен ( 8п√3):3 см⅓ π4 H=( 8п√3):34 π H:3=( 8п√3):34 H = 8 √3 Н=2√3 смРО=Н=2√3

Повторюсь:Угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основанияобразован радиусом окружности основания конуса и высотойтреугольников - боковых граней пирамиды. РМ=РК=РН=√(РО²+ОМ²)=√(12+4)=4 смОК=ОМ=r=2 смЕсли в прямоугольном треугольнике, какими, без сомнения, являются треугольники КОР и МОР, катет равен половине гипотенузы, то он противолежит углу 30°, а второй острый угол в таком треугольнике равен 60°.

То, что диаметр основания конуса равен его образующей,   подтверждает найденное решение. Ответ:

искомый угол равен 60°.