Найдите периметр остроугольного треугольника ABC, если сторона AC = 21, высота BH = 12 и медиана AM = √205

S(АВС)=АС·ВН/2=21·12/2=126.Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. S(АВС)=2S(АМС).Также, S(АМС)=(АМ·АС·sin∠МАС)/2 ⇒ sin∠МАС=2S(АМС)/(АМ·АС)=126/21√205=6/√205.cos²∠MAC=1-sin²∠MAC=1-36/205=169/205.cos∠МАС=13/√205.В тр-ке АМС по теореме косинусов: МС²=АМ²+АС²-2АМ·АС·cos∠МАС=205+441-2√205·21·13/√205=100,МС=10. ВС=2МС=20.cos∠ACM=(АС²+МС²-АМ²)/(2АС·МС)=(441+100-205)/(2·21·10)=4/5. В тр-ке АВС АВ²=АС²+ВС²-2АС·ВС·cos∠АСВ=441+400-2·21·20·4/5=169,АВ=13.Итак, периметр ΔАВС: Р=АВ+ВС+АС=13+20+21=54 - это ответ.