В прямоугольном треугольнике ABCбиссектриса острого угла Aделит катет BCна отрезки 2 см и 4 см. Найдите: c, b, [tex]m_{c}[/tex] , [tex]h_{c}[/tex] , r, R

Решение: АК – биссектрисса угла А ВК=4, СК=2, Угол С – прямой.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (свойство биссектриссы треугольника), тогда

AC\AB=CK\BK

AC\AB=2\4=0.5

AB=2*AC

BC=2+4=6 см

По теореме Пифагора

AC^2+BC^2=AB^2

 AC^2+6^2=(2*AC)^2=4*AC^2

3*AC^2=36

AC^2=12

b=AC=корень(12)=2*корень(3) см

c=AB=2*AC=2* 2*корень(3)=4*корень(3) см

Медиана проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна половине длины гипотенузы

m ( c )=1\2*c=1\2*4*корень(3)=2*корень(3) см

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов

S=1\2*a*b=1\2*6*2*корень(3)= 6*корень(3) см^2

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на длину основания, к которому она приведена

S=1\2*c*h(c)

Высота равна h(c)=2*S\c=2*6*корень(3)\( 4*корень(3))=3 см

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы

R=1\2*c=1\2*4*корень(3)=2*корень(3) см

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

r=(a+b-c)\2=(6+2*корень(3)-4*корень(3))\2=3-корень(3) см

1)AV - биссектриса

по св-ву бисскетрисы => что AC\AB = CV\VB = 1\2

т.к. AB = 2AC => что угол ABC = 30 градусов, угол CAB = 60 градусов

AB = BC\cos30 = 12\корень из 3

AC = 6\корень из 3

2)CM - медиана

Рассмотрим треугольник CAM

AM = 6\корень из 3 = AC

по теореме косинусов находим медиану

3)Пусть CK - высота

Рассмотрим треугольник AKC

AK = ACcos60 = 3\корень из 3

KB = AB - AK = 3

KC^2 = AK KB = 9 корней из 3

4)Sabc = CBAC\2 = 18\корней из 3

p=(9+3корня из 3)\корень из 3

r = S\p = 6\(6+корень из 3)

R = abc\4S = 2\корень из 3