Докажите, что вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит гипотенузу на отрезки, произведение длин которых равно площади этого треугольника.

Проведём три радиуса в точки касания.Рассмотрим фигуру ODBF.OD = OF, ∠ODB = ∠OFB = 90° (т.к. радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной) . Тогда ODBF - квадрат ⇒ OD = OF = BF = DB.Выразим теперь площадь треугольника через радиус вписанной окружности и периметр: А теперь через катеты: Приравняем теперь две данные формулы площади:Мы пришли к формуле (1), через которую находили площадь треугольника. Значит, площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые вписанная окружность делит гипотенузу.