Периметр равнобедренного треугольника=128 см, а биссектриса, проведенная к основе=32 см Обчислите длину вписанного круга

Ответы 1

Пусть a - основание равнобедренного треугольника, l - биссектриса, r - радиус вписанной окружности, b - боковая сторона.Выразим площадь треугольника через радиус вписанной окружности: $S = \dfrac{1}{2}Pr = 0,5 \cdot 128r = 64r$ Биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является и медианой, и высотой, поэтому: $S = \dfrac{1}{2}al = 0,5a \cdot 32 = 16a$ Приравняем теперь обе формулы: $64r = 16 a \\ a = 4r$ .Найдём по теореме Пифагора боковую сторону b: $b = \sqrt{( \dfrac{1}{2} \cdot 4r)^2 + 32^2} = \sqrt{4r^2 + 1024} = 2 \sqrt{r^2 + 256}$ .У нас известен периметр, поэтому мы можем сложить все известные стороны и найти таким образом радиус вписанной окружности: $P = a + 2b \\ 128 = 4r + 2 \cdot 2 \sqrt{r^2 + 256} \\ r + \sqrt{r^2 + 256} = 32 \\ \sqrt{r^2 + 256} = 32 - r \\ r^2 + 256 = 1024 - 64r + r^2 \\ 256 - 1024 = -64r \\ r = 12$ Осталось найти длину круга: $C = 2 \pi r = 24 \pi$ Ответ: $24 \pi \ cm.$
- Автор:
  camille86
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ