Даны точки А (1; 1), В (4; 5), С (-3; 4).

а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и пря­моугольный,

б) Найдите длину медианы СМ

Решение: Найдем длины сторон и длины диагоналей по формуле расстояния отрезка, по по заданным координатам его концов.

d=корень ((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)

AB=корень ((1-4)^2+(1-5)^2)=5

BC=корень ((4-(-3))^2+(5-4)^2)=корень(50)=5*корень(2)

AC=корень ((1-(-3))^2+(1-4)^2)=5

АВ=АС - значит треугольник равнобедренный по опредлению равнобедренного треугольника

AB^2+AC^2=BC^2

(25+25=50)

по обратной теореме Пифагора , треугольник прямоугольный

Найдем координаты точки М -середины отрезка АВ:

x=(x1+x2)\2

y=(y1+y2)\2

x=(1+4)\2=2.5

y=(1+5)\2=3

M(2.5;3)

Найдем длину медианы СМ

СМ=корень ((2.5-(-3))^2+(3-4)^2)=корень(1.25)=0.5*корень(5)