В прямоугольном треугольнике НРЕ (Н=90) ЕL – биссектриса угла Е. Отрезок LE в два раза больше отрезка LH и на 8см меньше отрезка НР. Найти катет РН.

Пусть HPE - прямоугольный треугольник с катетами HP и HE, гипотенузой PE. LE - биссектриса угла EВ прямоугольном треугольнике LHE: LH и HE - катеты, LE - гипотенуза.По условию гипотенуза LE в 2 раза больше катета LH ⇒ угол LEH= 30° т.к. катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Угол PEL равен 30°, т.к. биссектриса LE делит угол PEH пополам ⇒⇒ угол PEH = 30 + 30 = 60° ⇒ угол EPH = 180 - 90 - 60 = 30° ⇒ треугольник PLE - равнобедренный с основанием PE, углами при основании равными 30° каждый ⇒ PL = LE как боковые стороны равнобедренного треугольника. Пусть LE = Х, тогда PL = ХLH = X / 2HP = X + 8 (по условию)HP = PL + LH = X + X/2x + x/2 = x + 8x - x + x/2 = 8x/2 = 8x = 8 * 2x = 16LE = 16 (cм)HP = 16 + 8 = 24 (см)Ответ: 24 cм