докажите что при симметрии относительно точки прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя)

а) По известной теореме через центр симметрии и данную прямую можно провести единственную плоскость.

Пусть О — центр симметрии, а — данная прямая, α — плоскость, проведенная через О и а.

Пусть А ∈ а, построим отрезок ОА.

Продолжим ОА за точку О на расстояние ОА1=АО. Получим точку А1, симметричную А.

Пусть В ∈ а, построим отрезок ОВ. Продолжим ОВ за точку О на расстояние ОВ1=ОВ. Получим точку B1, симметричную точке В.

Через А1 и В1 проведем прямую b. Рассмотрим ΔAОВ и ΔА1ОВ1⋅AО=А1О, ВО=ОВ1, ΔАОВ=ΔА1ОВ1 как вертикальные, следовательно, ΔAОВ=ΔА1ОВ1.

Тогда, ∠1=∠2 и а || b.

б) Пусть А ∈ а. Симметричная ей точка А1 тоже принадлежит прямой а; АО=ОА1.

Точка А произвольна, следовательно, любая точка прямой, а также симметричная точка относительно центра О лежат на прямой а, следовательно, прямая а переходит сама в себя при условии, что проходит через центр симметрии.