В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды КА и КВ так что угол ОАК= угол ОВК ( рис 67) Докажите что АК= ВК

Соединим поочередно В и А с D. 

В ∆ KBD и ∆ KAD ∠KBD =∠KAD – опираются на диаметр ⇒прямые. 

Тогда, так как  по условию ∠КВО=∠КАО, то ∠ОВD=∠OAD.

Отсюда следует равенство равнобедренных ∆ BOD=∆ AOD с боковыми сторонами-радиусами. 

В треугольниках ОВК и ОАК  стороны ВО=АО (радиусы),  углы при О равны как смежные равным углам ВОD и AOD, следовательно,

∆ ОВК =∆ ОАК по второму признаку равенства треугольников.  ⇒ КВ=КА. Доказано.