Из точки B окружности опущен перпендикуляр BM на её диаметр AC. AB=4 см. Найдите радиус окружности если отрезок AM на 4 см меньше CM

Ответ:

r=4 см

Объяснение:

Дано: АС - диаметр окружности, точка В лежит на окружности, ВМ⊥АС, СМ=АМ+4.

Найти: r.

Решение:

Рисунок к задаче смотри в прикрепленном файле.

Пусть АМ=х, тогда МС=х+4.

ΔАВМ прямоугольный, т.к. ВМ⊥АС (по условию).

По теореме Пифагора найдем ВМ.

Проведем отрезок ВС. ΔАВС прямоугольный, т.к. вписан в окружность и одна его сторона является диаметром окружности.

ВМ - высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе - вычисляется как корень квадратный из произведения длин отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

Мы получили два разных выражения, при помощи которых можно найти длину отрезка ВМ. Поскольку результат у них будет одинаковый, приравняем их.

По теореме Виета x₁=-4, х₂=2.

х=-4 - посторонний корень (т.к. длина отрицательной быть не может).

АМ=2, МС=2+4=6.

АС=АМ+МС=2+6=8

Ответ: r=4 см.

Дано:

O - центр окружности

AB = 4 см

CM - AM = 4 см

Найти: r (радиус окружности)

Решение:

CM = CO + OM = r + OM

AM = OA - OM = r - OM

CM - AM = 4

r + OM - r + OM = 4

2×OM = 4

OM = 2 ⇒ CM = r + 2, AM = r - 2

Рассмотрим ΔMBA - прямоугольный

По теореме Пифагора:

Рассмотрим ΔABC - прямоугольный, так как ∠ABC = 90° (опирается на диаметр)

По теореме Пифагора:

r₁ = -2 не подходит, так как радиус не может быть отрицательным, следовательно r = 4

Ответ: 4 см