Найдите площадь прямоугольной трапеции, в которой точка соприкосновения вписанного в нее круга делит большую основу для отрезки 12 и 16 см, начиная от вершины прямого угла

 Пусть ABCD - прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность с центром в т. О.

ВС - основание трапецииAD - основание трапеции∠A = 90°DE = 16 смAE = AM = BM = BK = KO = MO = EO = r = 12cм

AD = AE + DE

AD = 12 + 16 = 28 (cм)В прямоугольном треугольнике ODE:катет OE = 12см катет DE = 16 смOD - гипотенузапо теореме ПифагораOD² = OE² + DE²OD² = 12² + 16² = 400OD = √400 = 20 (см) Свойство касательных: Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности ⇒ ⇒ ED = FD = 16cм и CK = CF как отрезки касательных, ОD - биссектриса ∠ADC, OC - биссектриса ∠BCD

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180° ⇒ ∠BCD + ∠ADC = 180° ⇒ ∠DCO + ∠CDO = 180 / 2 = 90 (°)Сумма углов треугольника равна 180° ⇒ ⇒ ∠COD = 180 - (∠DCO + ∠CDO ) = 180 - 90 = 90(°)В прямоугольном треугольнике COD

∠OCD= 180 - 90 - ∠CDO ⇒ ∠OCD = 90 - ∠CDO

В прямоугольном треугольнике OFC

∠OCF = 180 - 90 - ∠COF = 90 - ∠COF ⇒ ∠CDO = ∠COF 

В прямоугольном треугольнике DFO

∠DOF = 180 - 90 - ∠CDO = 90 - ∠CDO = ∠OCD 

Треугольники DFO u OFC подобны по трем углам 

∠DFO = ∠OFC = 90° т.к. радиус окружности, проеведенный в точку касания, перпендикулярен касательной 

∠CDO = ∠COF

∠DOF = ∠OCD 

У подобных треугольников углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. ⇒ 

DO : OC = DF : OF = OF : CF

20 : OC = 16 : 12 = 12 : CF

16 : 12 = 12 : CF

Свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних

16СF = 12*12

16CF = 144

CF = 144 / 16

CF = 9 (cм), тогда CK = 9 см

BC = BK + CK

BC = 12 + 9 = 21 (cм)

Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, ее площадь равна произведению оснований.

S = AD * BC

S = 28 * 12 = 336 (см²)

(не смогла нарисовать ровные дужки для обозначения равных углов, поэтому обозначила их цифрами)

 -----------------------------------------------------------------------------