Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 30, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 20 и 15.

Дано: окружность с центром О. АВ и СД - хорды, АВ=30, КО=20; МО=15. Найти СД.

Решение: КО⊥АВ и МО⊥СД, т.к. перпендикуляр - кратчайшее расстояние между точкой и прямой. Треугольники АОВ и СОД - равнобедренные, причем АО=ОВ=ОС=ОД как радиусы окружности.

Рассмотрим ΔАОВ; КО - высота и медиана, поэтому АК=КВ=АВ:2=30:2=15. Найдем ОВ из ΔОКВ; ОВ=25, т.к. ΔОКВ - "египетский".

Рассмотрим ΔДОМ; ОМ - высота и медиана, поэтому СМ=ДМ. ОД=ОВ=25, ОМ=15, значит, ДМ=20 (по свойству египетского треугольника). СД=СМ+ДМ=20+20=40 (ед.)

Ответ: 40.

" Расстояние – это перпендикуляр "АО = ОВ – как радиусы окружности →∆ АОВ – равнобедренныйВысота , проведённая в равнобедренном треугольнике к основанию, является и медианой и биссектрисойАН = НВ = 1/2 × АВ = 1/2 × 30 = 15Рассмотрим ∆ АОН (угол АНО = 90°):По теореме Пифагора:АО² = ОН² + АН²АО² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625АО = 25Значит, АО = ОВ = ОС = ОD = 25 – как радиусы окружностиРассмотрим ∆ ОDE (угол ОЕD = 90°):По теореме Пифагора:OD² = OE² + ED²ED² = 25²– 15² = 625 – 225 = 400ED = 20ОС = ОD – как радиусы окружности →∆ СОD – равнобедренныйВысота , проведённая в равнобедренном треугольнике к основанию, является и медианой и биссектрисойЗначит, CD = 2 × ED = 2 × 20 = 40ОТВЕТ: CD = 40