Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.
Докажите, что AD = 4BC.
С рисунком.

Я не понял, почему MO= корень AM*MB, объясните пожалуйста.

Высота прямоугольного треугольника опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу есть среднее геометрическое отрезков на которые основание высоты делит гипотенузу.

Это свойство учили когда проходили теорему Пифагора.

Все забыл)

Бывает

а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.

Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому <BAO+<ABO=(<BAD+<ABC)/2=90

Значит треугольник AOB прямоугольный. Аналогично, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y

MO=√AM*MB=2√2x=NO=√CN*ND=3y

Отсюда у=2х

Следовательно

BK=BM=x

AL=AM=8x

CK=CN=2x

DL=DN=4x

BC=BK+KC=3x

AD=AL-LD=12x

ОтсюдаAD=4BC

Так как касательные к окружности из одной точки равны, то:ВС=МВ+CN.AD=8MB+2CN.BC+AD=9MB+3CN.  AD=6MB+3BC-BC илиAD=8MB+2CN=6MB+2BC.Треугольники АВО и СОD - прямоугольные (так как боковая сторона трапеции видна из центра вписанной в нее окружности под углом 90° - свойство).Высоты ОМ и ОN (равные радиусу) равны.По свойству высоты из прямого угла имеем:ОМ=(2√2)*МВ;  ОN=√2*CN. Или2МВ=СN. Тогда 6МВ=2МВ+4МВ=2МВ+2CN = 2ВС.AD=6MB+2BC (доказано выше).AD=2BC+2BC==4ВС, что и требовалось доказать.