Углы при одном из оснований трапеции равны 75 и 15 градусов, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 7. Найдите меньшее из оснований этой трапеции.

Пусть AD>BC , тогда острые углы равные 75 и 15 гр лежат при оснований AD , положим что Y,W середины сторон AB и CD соответственно , тогда YW средняя линия трапеции , значит AD+BC=2YW из условия мы знаем что YW равна либо 15 либо 7 , положим что AB и CD пересекаются в точке E , тогда AED=180-(75+15)=90 , положим также что Z,X это середины сторон основании BC,AD соотвественно , пусть N точка пересечения YW и ZX , тогда по замечательному свойству трапеции точки E,Z,X лежат на одной прямой , учитывая что угол AED прямой , получаем что AX=EX=AD/2 , EZ=BZ=BC/2 , но так как EX=EZ+ZX откуда окончательно получаем две системы  

{AD-BC=2*7  

{AD+BC=2*15  

Или  

{AD-BC=2*15  

{AD+BC=2*7  

Подходит решение первой системы , так как они положительны , складывая получаем AD=22 , BC=8 , значит ответ BC=8.