в правильной четырехугольной пирамиде abcds с вершиной в точке S сторона основания равна 24, боковое ребро 20. На ребра BS взята точка B1 так, что B1S=5. Через точку B1 и середины ребер AS и CS проведена плоскости. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания пирамиды.

Проекция вершины S на основание , есть точка пересечения диагоналей квадрата ABCD . Положим что это точка H . L,K середины AS, CS соответсвенно , также положим что B1K пересекает BC в точке X , можно теореме Менелая , тогда BB1/B1S * SK/KC * CX/BX=1 Или (20-5)/5*(1/1)* (CX/(24+CX))=1 , откуда CX=12 , значит BX=36. Аналогично если Y точка пересечения LB1 с AB , тогда BY=36 . Опустим высоту из точки B1 на основание , основание высоты N будет лежат на диагонали . Найдём B1N , подобия треугольников SHB и B1NB , тогда SH/B1N = 4/3 по теореме Пифагора SH=sqrt(BS^2 - BH^2) = sqrt(BS^2-(BD/2)^2) = sqrt(20^2-(12 sqrt(2))^2)= sqrt(112) , значит B1N = 3*sqrt(7) и BN=sqrt(15^2-9*7)=9*sqrt(2) . XBY равнобедренный и прямоугольный треугольник , положим что M точка пересечения BN и XY , тогда BM=36*sqrt(2) , и MN=BM-BN= 36*sqrt(2)-9*sqrt(2) = 27*sqrt(2) . Тогда если "a" это угол между плослкостью основания и данной плосокостью то tga=B1N/MN = 3*sqrt(7) / 27*sqrt(2) = sqrt(14)/18 , откуда a=arctg(sqrt(14)/18) .