Через сторону основания правильной треугольной пирамиды перпендикулярно противоположному боковому ребру проведено сечение. Секущая плоскость делит это ребро в отношений 3:2, считая от вершины. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если сторона основания равна 6√2.

Пусть дана пирамида SАВС, высота её SO, апофема SД, высота основания ВД.ВД = a*cos30° = 6√2*(√3/2) = 3√6.Точка О делит ВД в отношении 2:1 от В:ВО = (2/3)*3√6 = 2√6.ДО = (1/3)*3√6 = √6.Проведём осевое сечение через ребро SВ.В сечении имеем треугольник ДSВ, в нём 2 высоты: ДЕ к ребру SВ и SO  к ВД.Рассмотрим подобные треугольники SOB и ДВЕ (у них по прямому и общему углу В).Коэффициент пропорциональности деления точкой Е ребра SB примем к: SE = 3k. BE = 2k, SB = 5k.Составим пропорцию: 2√6/5k = 2k/3√6,10k² = 36,k² = 3,6.Теперь можно найти высоту (Н = SO) пирамиды:Н = √(SB² - BO²) = √(25k² - 24) = √(25*3,6 - 24) = √(90 - 24) = √66.Апофема А = SД = √(Н² + ДО²) = √(66 + 6) = √72 = 6√2.Периметр Р основания равен:Р = 3а = 3*6√2 = 18√2.Площадь Sбок боковой поверхности пирамиды равна:Sбок = (1/2)РА = (1/2)*18√2*6√2 = 108 кв.ед.