Вот, придумал еще одну "зарядку для хвоста"

Дан прямоугольный треугольник.
Высота к гипотенузе делит его на два треугольника.
Найти радиусы вписанных окружностей в эти треугольники и в данный треугольник, если известно, что они есть целые числа и их величина минимальна.

Дерзайте! :)

Ну вот смысл всегда в стороне. Логическая цепочка такая - три радиуса очевидно связаны пифагоровым соотношением )так как все три треугольника подобны, и их гипотенузы удовлетворяют теореме Пифагора(в двух случаях гипотенузы - это катеты исходного треугольника.) Раз ищется минимальное решение, то первый кандидат на решение - минимальная пифагорова тройка 3,4,5

Это предположение на самом деле говорит о треугольниках гораздо больше, чем кажется. 1) все они подобны этому треугольнику 2) у простейшего пифагорова тр-ка радиус вписанной окружности 1, то есть коэффициенты подобия 3, 4 и 5 (то есть сами образуют ту же тройку). Задача уже решена.

по сути надо лишь проверить, что такая тройка треугольников может образоваться при проведении высоты. Для этого достаточно, чтобы у "меньших" троек были бы совпадающие "катеты". Ну это уже элементарно.

Введем обозначения:r - радиус окружности, вписанной в большой треугольник,r₁ - радиус окружности, вписанной в синий треугольник,r₂ - радиус окружности, вписанной в коричневый треугольник.Будут использованы формулы:h² = a₁b₁a² = a₁cb² = b₁cБольшой треугольник:r = (a + b - c)/2 = (√(a₁c) + √(b₁c) - √(c²))/2 = √c·( √a₁ + √b₁ - √c)/2Синий треугольник:r₁ = (a₁ + h - a)/2 = (√(a₁)² + √(a₁b₁) - √(a₁c))/2 = √a₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2Коричневый треугольник:r₂ = (h + b₁ - b) /2 = (√(a₁b₁) + √(b₁)² - √(b₁c))/2 = √b₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2r₁/r = √a₁/√cr₂/r = √b₁/√cТак как длины радиусов - целые числа, то с, a₁ и b₁ должны быть квадратами целых чисел.Наименьший квадрат целого числа, который является суммой квадратов целых чисел, это 25  (25 = 9 + 16)Тогда, r₁/r = 3/5r₂/r = 4/5Так как радиусы должны быть наименьшими, это 3, 4 и 5.