а)Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, точкой касания разбивает гипотенузу на два отрезка m и n. Докажите, что площадь треугольника равно m*n.

б) Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса 4, угол ABC - прямой. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются отрезка AC в точках K и M соответственно, при этом CK:KM:MA = 3:1:4 (точка М лежит между точками К и А). Найдите площадь четырехугольника ABCD.

1. Расстояния от вершин треугольника до точек касания равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки (см. рис.)Sabc = AC · BC / 2 = (m + r)·(n + r)/2 = (mn + mr + nr + r²)/2Sabc = (mn + r(m + n + r))/2m + n + r - это полупериметр треугольника, а произведение радиуса на полупериметр - это площадь треугольника. Итак,Sabc = (mn + pr)/2 = (mn + Sabc)/22Sabc = mn + SabcSabc = mn.2.∠АВС = 90°, он вписанный, значит опирается на диаметр, т.е. АС - диаметр окружности. Значит и угол ADC = 90°.АС = 2R = 8.Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогдаСК = 3х, КМ = х, МА = 4х.СК + КМ + МА = АС3x + x + 4x = 88x = 8x = 1СК = 3, КМ = 1, МА = 4.По доказанному в первой задаче:Sabc = AK·KC = (KM + MA)·KC = 5·3 = 15Sacd = AM·MC = AM·(MK + KC) = 4·4 = 16Sabcd = Sabc + Sacd = 15 + 16 = 31