Доказать, что в любом треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной окружности лежат на одной прямой

Неподвижной точкой как раз является центр тяжести.

Вроде бы я написал то же самое?

Да

А если взять, например, гомотетию с центром в H и коэффициентом 1/2, то описанная окружность перейдет в окружность Эйлера. Которая пройдет через M, середину CH и основание высоты (потому что H и точка на окружности, лежащая на CH, симметричны относительно AB). Там много таких фокусов. Но наглядность у них не очень.

Да, это самый простой способ доказать про окружность Эйлера

Лично мне нравится больше всего доказательство теоремы Эйлера, приведенной на рисунке. Оно очень наглядное, там сразу всё видно.Дана окружность с центром O, ABC - вписанный треугольник.Точка C1 противоположна C на окружности, что есть CC1- диаметр, O - его середина.Пусть M - середина AB. H - точка пересечения высот треугольника ABC.Тогда AH II BC1; так как обе прямые перпендикулярны BC; и так же BH II AC1; то есть AHBC1 - параллелограмм.Поэтому точка M является серединой не только AB, но и C1H; так как диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах.Следовательно, CM - медиана (внимание!) не только треугольника ABC, то и треугольника CHC1, и - (еще раз внимание!) - точка G является точкой пересечения медиан обоих (!) треугольников. Другой медианой треугольника CHC1 как раз и является прямая Эйлера HO, то и завершает доказательство - точка G лежит на OH. Ясно так же, что HG/GO = 2, как и бывает всегда у медиан.