Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что диагонали AC и BD (т.е. отрезки) пересекаются в точке OO. Также про этот четырехугольник известно, что периметр треугольника ABC равен периметру треугольника ABD, а периметр треугольника ACD равен периметру треугольника BCD. Найдите длину AO, если BO=10, CO = 7 BC=4
Периметр (треугольника) — сумма длин всех сторон (треугольника).

Периметры - это сумма сторон.AB+BC+AC=AВ+ВD+AD или  ВС+АC=ВD+АD или4+АО+7=10+ОD+AD. АО=ОD+AD-1. (1)AC+CD+AD=BC+CD+BD или AC+AD=BC+BD илиAО+7+AD=4+10+ОD. АО=ОD-AD+7.(2)Приравняем (1) и (2): ОD+AD-1=ОD-AD+7.Отсюда 2AD=8 и AD=4.Тогда OD=АО-3.По теореме косинусов в треугольнике ВОС:Cosα = (b²+c²-a²)/2bc. (α - между b и c) илиCosα = (100+49-16)/140 =133/140=0,95.В треугольнике АОD угол <АОD=<BOC, как вертикальныеТогда по теореме косинусов в треугольнике AOD:0,95 = (АО²+(АО-3)²-16)/(2*АО(АО-3)). Или2АО²-6АО-7=1,9АО²-5,7АО или0,1АО²-0,3АО-7=0 илиАО²-3АО-70=0. Отсюда АО1=(3+17)/2=10, АО2=-7 - не удовлетворяет условию.Ответ: АО=10.