Точка D лежит на катете BC прямоугольного треугольника ABC (C=90)
Из точки D опущен перпендикуляр DK на гипотенузу AB. Известно, что DC = DK  и AK:KB=8:9 Периметр треугольника ABC равен 80. Найти длину отрезка CD .

∆ АDК и АDС прямоугольные и равны по катету ( DС=DК -дано)  и общей  гипотенузе АD. ⇒

АК=АС и углы САD=КAD,⇒

 АД - биссектриса угла ВАС. 

 Примем коэффициент отношения АК:КВ равным а. Тогда АВ=9а+8а=17а., АС=АК=8а

По т.Пифагора ВС=√(АВ²-АС²)=√225a²=15a

Периметр АВС=17а+15а+8а=40а 

40а=80

а=2

СВ=30, АС=16, АВ=34 . 

Биссектриса  угла  треугольника  делит  противолежащую углу сторону  на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

СД:ДВ=АС:АВ

Примем CD=х

х:(30-х)=16:34

34х=480-16х

50х=480

х=9,6  (ед. длины)