В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=3см. Окружность диаметром АС пересекает гипотенузу АВ в точке М в отношении АМ:МВ=9:16. Найдите площадь треугольника АВС.

Угол АМС - прямой (опирается на полуокружность).По свойству высоты из прямого угла МС² = АМ*МВ.Примем коэффициент пропорциональности деления гипотенузы за х.Тогда МС² = 9х*16х = 144х².Рассмотрим треугольник АМС.АС² = АМ² + МС².3² = (9х)² + 144х²,81х² + 144х² = 9,225х² = 9,х = √(9/225) = 3/15.Находим длины сторон треугольника АВС.АВ = (9+16)*(3/15) = 25*3/15 = 5 см.ВС = √(25-9) = √16 = 4 см.S(АВС) = (1/2)*3*4 = 6 см².