В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Чему равен угол C, если AB=4 и A1B1= 2 корня из 3х. (первая лемма о высотах)

Из прямоугольных ∆ СВВ1 и  ∆САА1 с общим острым углом С

  cos C=В1С:ВС=А1С:АС

По первой лемме о высотах –  

(Если в треугольнике ABC нет прямого угла, AA1 и BB1 – его высоты, то ∆ А1В1С подобен ∆ ABC., т.е.  если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному)⇒

   ∆ А1В1С подобен ∆ АВС. 

Случай 1) 

∆ АВС остроугольный. Из подобия треугольников следует отношение: 

А1B1:АB=В1С:ВС=cosC

cosC= 2√3:4=√3/2 ⇒ угол С=30°

2) 

 ∆АВС тупоугольный и  угол С >90°: 

по первой лемме о высотах ∆ А1В1С подобен ∆ АВС.  

Косинус угла, смежного с углом С, равен

А1С:АС=В1С:ВС=cos ACA1 

cos ACA1=А1В1:АВ=2√3:4=√3/2, угол АСА1=30°, ⇒ 

угол С=180°-30°=150°

Таким же образом находится величина острого угла С в тупоугольном ∆ АВС, где тупой угол – ∠А или ∠В. 

————————————

3) Можно угол С найти по т.синусов.  

Так как. ∆АВВ1 и АА1В1 прямоугольные с общей гипотенузой АВ, можно провести окружность около четырехугольника АВА1В1. Треугольник АВВ1 - вписанный. 

По т. синусов

2R=AB=4 ⇒

.  Это синус 60°, и тогда 

угол С=30°. 

Этот способ решения применим и в случае тупоугольного ∆ АВС.