Дана трехзвенная замкнутая ломаная ABC (рис. 44). Точки M, K, N — середины ее звеньев AB, BC и AC. Точки P, E, G — се- редины отрезков MB, KC и AN. Найдите длину ломаной ABC, если: а) PB + EC + GA = = 12 см; б) AP + BE + CG = 108 см.

1. М - середина АВ, значит МВ = АВ/2 Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4 К - середина ВС, значит КС = ВС/2 Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4 N - середина АС, значит NA = АС/2 G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4 По условию PB + EC + GA = 12 АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12 1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12 АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ ВЕ = 3/4 ВС CG = 3/4 AC По условию AP + BE + CG = 108 3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108 3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108 АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)