В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. При этом оказалось, что  угол ВАС равен углу BDC, , а площадь круга, описанного около треугольника  BDC, равна 25*PI/4.

                  1). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC;

                  2). Зная что, BC=3, AC=4, угол BAD=90° , найдите площадь четырехугольника  ABCD.   

1. ΔBDC, вписанный в окружность можно представить как <BDC что опирается на хорду ВС.

В ΔСАВ <САВ тоже опирается на отрезок ВС, причем <САВ=<BDC по условию. По теореме о вписанных углах в окружность равные углы опираются на одну и ту же хорду. Значит ΔСАВ вписан в туже окружность с площадью S=25π/4.

Определим радиус:

S=π·r² ⇒ r=√S/π

r=√25π/4π=5/2=2.5

2. Рассмотрим чет. ABCD. Все четыре точки лежат на одной окружности, значит четырехугольник вписан в данную окружность.

Вписать можно только тот выпуклый четырехугольник у которого сумма противоположных углов равна 180°. То есть

<BAD+<BCD=180° <BCD=180°-90°=90°

Выпуклый четырехугольник с двумя противоположными прямыми углами являевся прямоугольником.

S=a·b=3·√16-9=3√7(кв.ед.)