Даны четыре точки A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2) A3(x3,y3,z3), A4(x4,y4,z4).Составить уравнения:
а)плоскости А1 А2 А3;
б)прямой А1 А2;
в)прямой А4М перпендикулярной к плоскости А1 А2 А3;
г)прямой А3 N параллельной прямой А1 А2
д)плоскости проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1 А2
А1(6,8,2), А2(5,4,7), А3(2,4,7), А4(7,3,7)

Даны координаты пирамиды: A1(6,8,2), A2(5,4,7), A3(2,4,7), A4(7,3,7).1) Координаты векторов. Координаты векторов находим по формуле:X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - ziздесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;Например, для вектора A1A2X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1 X = 5-6; Y = 4-8; Z = 7-2A1A2(-1;-4;5)A1A3(-4;-4;5)A1A4(1;-5;5)A2A3(-3;0;0)A2A4(2;-1;0)A3A4(5;-1;0)2) Модули векторов (длина ребер пирамиды) Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:a = √(X² + Y² + Z²).Нахождение длин ребер и координат векторов. Вектор А1A2={xB-xA, yB-yA, zB-zA}      -1 -4  5        L = 6,480740698. Вектор A2A3={xC-xB, yC-yB, zC-zB}      -3  0  0       L =3. Вектор А1A3={xC-xA, yC-yA, zC-zA}      -4 -4  5       L = 7,549834435. Вектор А1A4={xD-xA, yD-yA, zD-zA}       1 -5  5       L =7,141428429. Вектор A2A4={xD-xB, yD-yB, zD-zB}       2 -1  0       L = 2,236067977. Вектор A3A4={xD-xC, yD-yC, zD-zC}       5 -1  0       L = 5,099019514.  3) Уравнение прямойПрямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями: Параметрическое уравнение прямой: x=x₀+lt y=y₀+mt z=z₀+ntУравнение прямой A1A2(-1,-4,5) Параметрическое уравнение прямой: x=6-t y=8-4t z=2+5t.4) Уравнение плоскости А1А2А3.

x-6    y-8    z-2

-1      -4      5 -4      -4     5   = 0(x-6)((-4)*5-(-4)*5) - (y-8)((-1)*5-(-4)*5) + (z-2)((-1)*(-4)-(-4)*(-4)) = = - 15y - 12z + 144 = 0 Упростим выражение: - 5y - 4z + 48 = 0.5) Уравнение прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3, - это высота из точки А4 на основание пирамиды.Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C). Уравнение плоскости A1A2A3: - 5y - 4z + 48 = 0.Уравнение А4М: 6) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору A1A2. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид: l(x- x₀) + m(y- y₀) + n(z- z₀) = 0Координаты точки A4(7;3;7)Координаты вектора A1A2(-1;-4;5) -1(x - 7) + (-4)(y - 3) + 5(z - 7) = 0 Искомое уравнение плоскости: -x - 4y + 5z-16 = 0.7) Уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1А2.

Необходимая для решения точка А3(2; 4; 7) задана по условию, а направляющий вектор для искомой прямой возьмём тот же, что для прямой А1А2, так как они параллельны: n=(-1;-4;5). 

Ответ: