Через точку A проведены две касательные к окружности w; M и N - точки касания. Известно, что AM=6 и MN=5.

Найдите:

а) радиус окружности

б) длину дуги окружности w, находящейся вне треугольника AMN 

а) Проведем АО (О - центр окр.).Пересечение АО и MN - точка К. MK = KN = 2,5. Пусть ON = OM = R.   Тогда:

Из пр.тр-ка AON:

AO^2 - R^2 = 36   (AN = AM = 6).

AO*2,5 = 6R  (гипотенуза умн. на высоту равна произведению катетов).

AO = 6R/2,5 = 2,4R

5,76R^2 - R^2 = 36

R = 6/кор4,76 = 2,75 (с точностью до 5-го знака после запятой)

Ответ: 6/кор4,76 = 30/кор119 = 2,75 (специально даю разные вариации одного и того же ответа - первые два - точные, но громоздкие, последний - приближенный, но очень с высокой степенью точности).

б)Продлим АО до пересечения с другой точкой окр. w - точка В.

Итак необходимо найти длину дуги MNB. Сначала найдем угловую меру.

MBN = 2П - MON = 2П - х.   х = ?

Из тр-ка MON:

sin(x/2) = 2,5/R = 2,5/2,75 = 10/11 = 0,91

x = 2arcsin(0,91)

MBN = 2П - 2arcsin(0,91) радиан

Длина дуги:

{[2П - 2arcsin(0,91)]/2П} * 2ПR = 2ПR - 2Rarcsin0,91 = 2R(П - arcsin(0,91))  =

=5,5*(П - 1,14) = 11

Ответ: 5,5(П - arcsin(0,91)) = 11.