В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) вписана окружность. Через точку М, лежащей на стороне АВ, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую АС в точке D. Найдите боковую сторону треугольника АВС, если АС=СD=14, МВ=1/8 АВ.

 

Ответ: 10

По прежнему не идут вложения. Если нужен подробный рисунок, сообщите эл. адрес. Туда вышлю фотку.

АВС - равнобедр. тр-к. АВ = ВС = х.  h = BK - высота, r - радиус вписанной окружности. ОК = r, О - точка пересечения биссектрис - центр вписанной окр-ти. Остальные обозначения и построения - как описаны в условии.

х = ?

Сначала некоторые соотношения через площадь:

S = pr, где р = (х+х+14)/2 = х+7  - полупериметр. S = (x+7)r

S = AC*h/2 = 7h

Приравняв, выразим h через r:

h = (x+7)r/7.                                                                   (1)

Из тр.АОК: tgA/2 = r/7

Из тр. АВК: tgA = h/7

Из тригонометрии: tgA = 2tgA/2 / (1-tg^2(A/2)) = 14r/(49-r^2)

Значит h = 7tgA = 98r/(49-r^2)                                          (2)

Приравняв (1) и (2), получим выражение для х через r:

х = (686/(49-r^2))  - 7 = (343+7r^2)/(49-r^2)                   (3)

Задача сводится к нахождению r^2.

Треугольники AMN и АВК - подобны  (мы провели MN перпенд. АС)

АМ/АВ = MN/ВК = AN/АК = 7/8 (следует из условия МВ = АВ/8)

Значит: MN=7h/8 = 343r/(4(49-r^2)),

AN = 7AK/8 = 49/8,  ND = AD - AN = 28 -(49/8) = 175/8

Из пр. тр-ка DOK: tgD/2 = r/KD = r/21

Из пр. тр. DMN: tgD = MN/ND = 686r/(175(49-r^2))             (4)

Через тригонометрию:

tgD = 2tgD/2 /(1-tg^2(D/2)) = 42r/(441-r^2)                       (5)

Приравняв (4) и (5), получим уравнение для r^2:

686r/(175(49-r^2))  =  42r/(441-r^2) 

7/(25(49-r^2))  =  3/(441-r^2)

r^2 = 588/68 = 147/17                                                      (6)

Теперь подставим (6) в (3) и найдем боковую сторону:

Ответ: 10