доказать теорему что вертикальные углы равны

Вертикальными называются углы, которые образуются при пересечении двух прямых,  т.е. углы, у которых вершина общая , а стороны продолжают друг друга.

  Рассмотрим рисунок, данный в приложении. . Угол ВОК - развернутый, т.к. его стороны составляют прямую ВК. Пара углов АОК и ВОС, как и  пара углов АОВ и СОК - вертикальные.

∠АОВ+∠АОК=развернутый угол ВОК=180°.

Угол АОВ+ВОС=развернутый угол АОС=180°.  

180°- ∠АОК=∠АОВ

180°-∠ВОС=∠АОВ ⇒ ∠АОК=∠ВОС, ⇒ вертикальные углы равны, что и требовалось доказать.