В четырехугольнике ABCD диагонали равны. Серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются в точке P, а к отрезкам AD и BC в точен Q; точки M,N - середины диагоналей. Лежат ли точки P,Q,M,N на одной окружности?

Какое изящное решение! Спасибо, Ден - надеюсь я усвоил новую для себя методику. Второй раз на этих поворотах туплю. Теперь вижу, что условие возможности описания окружности можно было и без поворота найти. Классно!

Треугольники AQC и DQB очевидно равны по трем сторонам, а значит совмещаются поворотом вокруг точки Q (синий и красный треугольники). Значит их медианы QN и QM тоже совместятся при этом повороте, т.е. ∠MQN равен углу между прямыми AC и DB (т.к. диагональ AC переходит в DB).Аналогично, треугольники APC и BPD совместятся поворотом вокруг точки Р, т.е.,  ∠MPN между их медианами РМ и РN тоже равен углу между диагоналями четырехугольника. В любом случае, получаем либо ∠MPN=∠MQN, либо ∠MPN+∠MQN=180°, что и означает, что точки PQМN лежат на одной окружности.