1. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 50 квадратных сантиметров. Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 30 градусам . Найдите сторону основания пирамиды.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда 1 см и 2√2 см, а угол между ними 45 градусов. Найдите объем параллелепипеда , если площадь его меньшего диагонального сечения равна √15.

1. пусть апофема l и угол между апофемой и плоскостью основания в 30°тогда проекция апофемы на плоскость основания, она же равна радиусу вписанной в основание окружности,r = l*cos(30°) = l√3/2Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника (см рисунок) относится к половине основания пирамиды как tg(30)r/(a/2) = tg(30°) = 1/√32r√3=a2*l√3/2*√3=a3l = al = 1/3aАпофема равна одной трети основанияПлощадь боковой поверхностиS = 3*1/2*l*a = 1/2 a^2 = 50 см^21/2 a^2 = 50a^2 = 100a = 10 см2длина малой диагонали основания по теореме косинусовl^2 = 1^2+(2√2)^2-2*1*2√2*cos(45) = 5l = √5Если наименьшее диагональное сечение опирается на эту диагональ то высота параллелепипедаl*h = √15h = √3Объём параллелепипедаV=1*2√2*sin(45)*h = 2√3