В треугольнике АВС со сторонами 13, 14 и 15 см. Н, М и L – точки пересечения его высот, медиан и биссектрис, соответственно. Найдите площадь треугольника НМL.

А почему ответ отрицательный?

да без разницы, пару точек переставить местами - будет положительный.

Попробуем координатный методстартуем в начале координат, от него вправо сторона длиной 15, вправо вверх сторона 14, И из точки (15;0) влево вверх сторона 13Координата третей вершины найдётся из системыx^2+y^2=14^2(x-15)^2+y^2=13^2вычтем из второго первоеx^2 + y^2 = 196x^2 + y^2 - 30 x = -56-----------30х = 252x = 42/5y^2 = 196 - (42/5)^2 = 3136/25y = +- 56/5, отрицательный корень нам не нуженy = 56/5Итак, три вершиныА(0;0) В(15;0) С(8.4;11.2)---------------------------------начнём с медиан.медиана из вершины А пересекает сторону ВС в точке1/2((15;0)+(8.4;11.2)) = (11.7;5.6)уравнение этой медианыy = 5.6/11.7 xмедиана из вершины В  пересекает сторону АС в точке1/2((0;0)+(8.4;11.2)) = (4.2;5.6)y=kx+b5.6=4.2k+b0=15k+bk = -14/27b = 70/9y=-14/27x+70/9и точка пересечения медиан найдётся из решения системыy = 5.6/11.7x y=-14/27x+70/9-------------x = 39/5y = 56/15Точка пересечения медиан М(39/5;56/15)--------------------------------------теперь высотыПроще всего с вертикальной. Её уравнение x=8.4Уравнение прямой ВСВ(15;0) С(8.4;11.2)y=kx+b11.2=8.4k+b0=15k+bk = -56/33b = 280/11y = -56/33x + 280/11собственно, нам b не нужно, а нужен угловой коэффициент для построения перпендикуляра к стороне BCВ уравнении перпендикуляра угловой коэффициент будет равенk₁ = -1/k = 33/56а b₁ равен 0, т.к. высота исходит из начала координатy = 33/56xx = 8.4решение x = 42/5, y = 99/20Это координаты точки пересечения высотH(42/5;99/20)--------------------------------------------------------------теперь биссектрисыУравнение стороны АСy=11.2/8.4x=4/3xкоордината точки на расстоянии 1 от начала координат будет y^2+x^2=1^216/9x^2+x^2 = 1x=+-3/5, отрицательный корень не нуженx=3/5y=4/5Единичный вектор по стороне АВ будет иметь координаты (1;0)среднее арифметическое между последними двумя точками, т.е. точка, принадлежащая биссектрисе1/2((3/5;4/5)+(1;0)) = 1/2(8/5;4/5) = (4/5;2/5)Уравнение биссектрисы из точки А y=1/2xУравнение прямой ВС было в прошлом пунктеy = -56/33x + 280/11единичный вектор от точки В(15;0) к точке С(8.4;11.2)y^2+(x-15)^2=1^2(-56/33x + 280/11)^2+(x-15)^2=1(4225 (x - 15)^2)/1089 = 1два решения x₁ = 942/65x₂ = 1008/65 - второй корень, от точки С, нам не нуженx = 942/65y = -56/33x + 280/11 =  -56/33*942/65 + 280/11 = 56/65Единичный вектор от В к С(942/65;56/65)Единичный вектор от В к A(14;0)Их среднее арифметическое(926/65;28/65)Это вторая точка биссектрисы из угла В(15;0)28/65=k926/65+b0=15k+bk = -4/7b = 60/7y = -4/7x + 60/7решаем совместно с y=1/2xточка пересеченияx = 8y = 4И это точка пересечения биссектрисL(8;4)-------------------М(39/5;56/15) H(42/5;99/20) L(8;4)Площадь треугольника найдём через координаты, хотя возможны и другие методыS=((39/5-8)(99/20-4)-(56/15-4)(42/5-8))/2 = -1/24