Дан прямоугольный треугольник ABC, угол С=90. Биссектриса AK делит катет на отрезки 4 см и 5 см. Найти площадь треугольника ABC

Ответ:

Площадь треугольника ABC равна 54 см²

Объяснение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, угол С=90°. Биссектриса AK делит катет на отрезки 4 см и 5 см. Найти площадь треугольника ABC.

Дано: ΔАВС - прямоугольный.

∠С = 90°;

АК  - биссектриса; ВК = 5 см; СК = 4 см.

Найти: S(ABC)

Решение:

• Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон.

⇒    \displaystyle \frac{KC}{KB} = \frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}

Пусть АС = 4х см, а АВ = 5х см.

По теореме Пифагора:

АВ² = ВС² + АС²

25х² = 81 + 16х²

9х² = 81   |:9

x² = 9

x = 3

AC = 4x = 4 · 3 = 12 (см)

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

\displaystyle S(ABC) = \frac{1}{2}AC\cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12\cdot 9 =54 \;_{(CM^2)}

#SPJ1