Определите вид четырёхугольника ABCD и напишите уравнение окружности вписанной в этот четырёхугольник если она существует, не используя построения ABCD. A(1;5) B(3;1) C(1;-3) D(-1;1)

Даны вершины четырехугольника:  A(1;5), B(3;1), C(1;-3) и D(-1;1).Сторона АВ (модуль вектора): |АВ|=√[(3-1)²+(1-5)²] =√(4+16)=√20.Сторона DC:  |DC|=√[(1-(-1))²+(-3-1)²]=√(4+16)=√20.Противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны (по признаку -  отношения их координат АВ{2;-4} и DC{2;-4} равны: 2/2=-4/-4=1).Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.Чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон.Найдем стороны AD и ВС (достаточно стороны AD, так как в параллелограмме противоположные стороны равны).|AD|= √[(-1-1))²+(1-5)²]=√(4+16)=√20.Итак, наш четырехугольник ромб или квадрат (все стороны равны).Следовательно, в него можно вписать окружность.Уточним. Если в ромбе один из углов прямой, то это квадрат.Условие перпендикулярности векторов:векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: Xa*Xb + Ya*Yyb = 0 .  У насвектор АВ{2;-4}, вектор ВС{-2;-4}. Тогда -4+16 не равно нулю. ЗначитАВСD - ромб.Диаметр вписанной окружности - отрезок, равный расстоянию между противоположными сторонами.Найдем расстояние от вершины В(3;1) до прямой AD.Уравнение прямой AD:(X-Xa)/(Xd-Xa)=(Y-Ya)/(Yd-Ya)  =>(X-1)/(-2)=(Y-5)/(-4) - каноническое уравнение. Отсюда2X-Y+3=0 - общее уравнение с коэффициентамиА=2, В=-1, С=3.Искомое расстояние (по формуле):d=|A*Xb+B*Yb+C|/√(A²+B²) = |6+(-1)+3|/√5 =8/√5.Это диаметр. Радиус R=4/√5.Центр (О) окружности расположен на середине любой из диагоналей ромба.  Например, на середине диагонали  BD. Найдем этот центр:О(1;1) (как находить координаты середины отрезка, мы уже показали).Тогда уравнение окружности  (X-Xc)²+(Y-Yc)²=R²:(X-1)²+(Y-1)²=3,2.