Окружность с диаметром АD=10 касается меньшего основания ВС трапеции АВСD и пересекает боковые стороны трапеции в их серидинах-точках К и М. Найти углы трапеции при основании АD и длину отрезка КМ.

АКМD - трапеция, вписанная в окружность. 

Вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию,  ⇒ 

АВСD также равнобедренная трапеция. 

КМ  хорда данной окружности и  средняя линия трапеции, поэтому параллельна АD

а) См. рис.1 вложения. 

 Высота АВСD  равна длине отрезка, проведенного из центра в точку касания, т.е. равна радиусу окружности.

ВН=d:2=10:2=5. 

Соединим К и D

В ∆ АКD вписанный угол AКD опирается на диаметр и равен 90°. Смежный ему угол ВКD=90°

В ∆ АВD  AK=KB, DK⊥АВ, ⇒ отрезок KD  – медиана и высота. 

Следовательно, ∆ АВD равнобедренный, ВD=AD=10

Формула площади треугольника S=ab:2

2S (ABD)=BH•AD=5•10=50

Другая формула площади треугольника

S=a•b•sinα:2, где a и b – стороны треугольника, α – угол между ними.

sinα=2S:ab=50:100=1/2 - это синус 30° 

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

∠АВD=∠ВАD=(180°-30°):2=75°

———

б) См. рис.2. 

Радиус ОN перпендикулярен хорде КМ   и делит её пополам. ⇒

КТ=ТМ= (свойство). 

∆ АКО – равнобедренный. Углы при основании АК из доказанного выше =75°

Тогда ∠КОА=180°-2•75°=30°,  

  и угол КОТ=<AOТ-<KOA=60°--

KM=2•5√3/2=5√3 (ед. длины)