Площадь кругового сектора равна 6π см², а длина дуги 2π см. Найдите длину окружности, вписанной в этот сектор.

а) Площадь сектора 6π см² ,  дуга сектора 2π см

Формула площади сектора через длину дуги 

S=L•R/2

6π=2πR/2⇒

R=6

б) 

Длина дуги сектора равна длине дуги в 1°, умноженной на величину угла сектора.

L=(2πR:360°)•n , где n - угол сектора

 2π=2πR:360•n ⇒

n=2π •360:12π=60°

в) 

Рассмотрим чертеж приложения, в котором угол сектора АОВ=60°, С -точка касания  окружностей, О1 - центр вписанной в сектор АОВ окружности. Он лежит на ОС, биссектрисе угла АОВ. 

 АО=ОВ=ОС=6

Проведем из О1 радиус в точку касания М вписанной окружности с ОВ. 

Треугольник ОО1М прямоугольный, ∠О1ОМ=30°, ОО1 - гипотенуза, О1М - катет= r

ОО1=ОС - О1С=6-r

r противолежит углу 30°⇒

r=(6-r):2 ⇒

3r=6 см

r=2 см