Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 2. Эта диагональ составляет с боковой гранью, содержащей сторону, равную 1, угол 45 градусов. Найдите объём параллелепипеда

В₁С₁⊥(D₁C₁C), значит DC₁ - проекция диагонали B₁D на плоскость (D₁C₁C),

тогда ∠B₁DC₁ = 45° - угол между диагональю и боковой гранью.

ΔB₁DC₁ - прямоугольный, равнобедренный.

DC₁ = C₁B₁ = x

По теореме Пифагора:

x² + x² = 4

2x² = 4

x² = 2

x = √2   (x = - √2 не подходит по смыслу задачи)

DC₁ = C₁B₁ = √2

Из ΔDCC₁ по теореме Пифагора:

СС₁ = √(DC₁² - DC²) = √(2 - 1) = 1

V = DC · CC₁ · C₁B₁ = 1 · 1 · √2 = √2