в.2

Дано правильную треугольную пирамиду, апофема которой равняется L. Боковая грань пирамиды образует с основанием угол β. Найдите:
а) высоту пирамиды
б) радиус круга, вписанного в основание пирамиды
в) сторону основания пирамиды
г) площадь основания пирамиды
д) площадь боковой поверхности пирамиды
е) площадь полной поверхности пирамиды

Обозначим :Н - высота пирамидыh - высота основания пирамидыr -радиус окружности, вписанной в основаниеа - сторона основанияРешениеа) высота пирамиды Н = L· sinβб) проекция апофемы на плоскость основания -это радиус вписанной окружности r = L · cosβ. в) сторона основания пирамиды а = 2r/tg 30° = 2L· cosβ/(1/√3) = = 2√3 · L·cosβг) площадь основания пирамиды Sосн = 0.5h·a, где h = a·cos30°.Тогда Sосн = 0.25a²·√3 = 0.25 · √3 · (2√3 · L·cosβ)² = 3√3L² · cos²βд) Площадь боковой поверхности пирамидыSбок = 3 · 0,5 · L · a = 1.5L · 2√3 · L·cosβ = 3√3 · L² · cosβe) площадь полной поверхности пирамиды:Sполн = Sосн + Sбок = 3√3 · L² · cos²β + 3√3 · L² · cosβ == 3√3 · L² · cosβ · (cosβ + 1)