докажите, что медиана любого треугольника делит этот треугольник на треугольники с равными площадями.

Это правильно, по определению, медиана делит сторону пополам. Следовательно, у треугольников, на которые медиана разделила исходный, будут одинаковыми основания и общая высота относительно этих оснований. А площадь равна половине произведения основания на высоту. Поэтому и площади треугольников одинаковы.