В трапеции ABCD основания BC и AD относятся как 1:3. Пусть M - середина боковой стороны CD. Прямая AM персекает BD в точке P.
А) Докажите, что BP:PD=4:3
Б) Найдите площадь четырехугольника BCMP, если площадь трапеции ABCD равна 56.

A. Продлим медиану АМ до пересечения с продолжением стороны ВС трапеции. Треугольники АМD и СMQ подобны по двум углам (<MCQ=<MDA как накрест лежащие при параллельных BQ и AD, <CMQ =<AMD как вертикальные).Из подобия имеем: CQ/AD=СM/MD=1 (так как СМ=MD - дано).Итак, CQ=AD. Тогда BQ=BC+CQ. Но BC=(1/3)*AD (дано), а CQ=AD (доказано выше). Следовательно, BQ=(1/3)*AD+AD, отсюда 3BQ=4AD.  BQ/AD=4/3.Треугольники АРD и ВРQ подобны по двум углам (<РВQ=<РDA как накрест лежащие при параллельных BQ и AD и секущей BD, <ВРQ =<AРD как вертикальные).Из подобия имеем:  ВР/PD=ВQ/AD=4/3. Что и требовалось доказать.В. Площадь трапеции  АВСD Sabcd=(BC+AD)*BH/2=(2/3)AD*BH. Площадь треугольника AMD равна Samd=(1/2)*AD*PH.Площадь треугольника ABD равна Sabd=(1/2)*AD*BH.Площадь треугольника AMD равна Samd=(1/2)*AD*MK. Но МК=(1/2)*ВН (из подобия треугольников AMD и CMQ). Значит Samd=(1/4)*AD*ВН.Площадь треугольника AРD равна Saрd=(1/2)*AD*РТ. Но РТ=(3/7)*ВН (из подобия треугольников AMQ и APD). Значит Saрd=(3/14)*AD*ВН.Площадь треугольника РМD равна Spmd=Samd-Sapd=(1/4-3/14)*AD*ВН =(1/28)*AD*ВНSbcmp=Sabcd-Sabd-Spmd=(2/3-1/2-1/28)AD*BH = (11/84)*AD*BH.(2/3)AD*BH=56 (дано). Тогда AD*BH=84.Sbcmp=(11/84)*84=11.