Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC, причём BM:BC=1:4.На продолжении стороны AC за точку C взята точка N, так что AN:CN=3:1.Прямая MN пересекает сторону AB треугольника ABC в точке K.Найдите отношение AK:KB.

По теореме Менелая:(АК/КВ)*(BM/MC)*(CN/NA)=1.ВМ/ВС=1/4  =>  ВМ/МС = 1/3.AN/CN=3/1 => CN/AN=1/3.Тогда(АК/КВ)*(1/3)*(1/3)=1.АК/КВ = 9/1.Доказательство  теоремы:Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через Р ее точку пересечения с прямой KN. Треугольники AKN и CPN подобны (< KAN=<PCN, < AKN=<CPN). Следовательно, AK/CP=NA/NC  (1).Треугольники BKM и CPM подобны (< BMK=<CMP, < BKM=<CPM). Следовательно, KB/CP=BM/MC  (2).Из (1) СР=AK*NC/NA.Из (2) СР=КВ*МС/ВМ.Тогда AK*NC/NA = КВ*МС/ВМ  и(AK*NC/NA)/(КВ*МС/ВМ)=1.  Или(АК/КВ)*(ВМ/МС)*(NC\NA)=1.Что и требовалось доказать.