100 баллов Окружность с диаметром AD = 10 касается меньшего основания ВС трапеции АВСD и пересекает боковые стороны трапеции в их серединах- точках К и М. Найти углы трапеции при основании АD и длину отрезка КМ.

пусть длина верхнего основания 2xнайдём стороны треугольника OCD (нам нужны квадраты сторон)OC² = 5²+x²OD² = 5²CD² = 5²+(5-x)² = 25+25-10x+x² = x²-10x+50и есть такая чудесная формула для длины медианы треугольника по его сторонамm = 1/2√(2a²+2b²-c²)или4m² = 2a²+2b²-c²Медиана OM = 5 4*25 = 2*(5²+x²) + 2*5² - (x²-10x+50)100 = 50 + 2x² + 50 - x² + 10x - 5050 = x² + 10xx² + 10x - 50 = 0D = 100+200 = 300x₁ = (-10-10√3)/2 - отрицательные корни не интересныx₂ = (-10+10√3)/2 = 5(√3-1)средняя линияКМ = 1/2(10-10+10√3)=5√3угол при основании найдём из треугольника CEDtg∠D = CE/ED = 5/(5-x) = 5/(5+5-5√3) = 1/(2-√3) = (2+√3)/(4-3) = 2+√3∠D = arctan(2+√3) = 5π/12 = 75°Готово :)