Отрезок DA - перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Угол АВС = 120, АВ = 14см. Найти расстояние от точки Д до плоскости АВС, если эта точка удалена от прямой ВС на [tex] 2\sqrt{43} [/tex]

Ответ:

DA = 5см

Объяснение:

Смотри рисунок на прикреплённом фото.

Дано, что DA ⊥ плоскости ΔАВС.

Делаем дополнительное построение: из точки А опускаем перпендикуляр АК на продолжение стороны ВС. (АК⊥ВС). Точку  D соединяем с точкой К, образовав пл-ть ADK. Докажем, что DK - расстояние от точки D до прямой ВС, то есть DK⊥ BC.

Пл-ть ADK ⊥ пл-ти АВС, так как  прямая AD, принадлежащая пл-ти АDK, перпендикулярна пл-ти  АВС (AD∈ ADK и AD⊥пл-ти АВС ⇒ пл-ть АDK ⊥ пл-ти  ABС).  

Далее. Поскольку прямая ВС ⊥ АК (линии пересечения пл-тей АВС и АDK), то она перпендикулярна пл-ти ADK.

И поскольку ВС ⊥ пл-ти ADK, то она перпендикулярна каждой прямой пл-ти ADK, проходящей через точку пересечения К. Таким образом, DK⊥BC  и является расстоянием от точки D до прямой ВС. DK = 2√43, по условию.

∠АВК и ∠АВС смежные углы, поэтому

∠АВК  = 180° - ∠АВС = 180° - 120° = 60°.

АК = АВ·sin 60° = 14 · 0.5√3 = 7√3 (cм).

По теореме Пифагора DK² = AK² + DA², откуда

DA = √(DK² - AK²) = √(4 · 43 - 49 · 3) = √172 - 147 = √25 = 5(см)