1)Плоскость альфа проведено через сторону CD прямоугольника АВСD перпендикулярную к его плоскости. Из точки А к плоскости альфа проведены наклонную АК = 15 см. Найти расстояние между прямыми ВС и АК, если АВ = 8 см, AD = 9 см, КС = 12 см.

2)Угол между двумя плоскостями равен 30 градусов. В каждой из плоскостей проведения прямую, параллельную линии их пересечения. Расстояние от одной из этих прямых к линии пересечения этих плоскостей равна 8 см, а от второй 2 квадратный корень из 3 см.Знайдить расстояние между параллельными прямыми.

1) Плоскость α проведена через сторону CD прямоугольника АВСD перпендикулярно к его плоскости. 

Из точки А к плоскости α проведена наклонная АК =15 см. 

Найти расстояние между прямыми ВС и АК, если АВ = 8 см, AD = 9 см, КС = 12 см.

Сделаем рисунок.                              

Плоскость α перпендикулярна плоскости прямоугольника. ⇒ 

KD⊥AD и ⊥DC. ∆ АDC - прямоугольный. По т.Пифагора 

DK=√(AK*-AD²)=√(225-81)=12

 ∆CKD равнобедренный.       

ВС и АК лежат в разных плоскостях, не параллельны и не пересекаются. Они скрещивающиеся.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. 

ВС║AD, AD лежит в плоскости ADK⇒ ВС║плоскости ADC. 

Расстояние от любой точки прямой  ВС до плоскости  ADC одинаково. 

Расстоянием от т.С до плоскости является длина перпендикуляра СН, проведенного к прямой DK ( т.к. они лежат в одной плоскости), т.е. высота равнобедренного ∆ СКD. 

Площадь ∆ СКD равна половине произведения его высоты КМ на сторону СD.  

КМ из прямоугольного ∆ КМС по т.Пифагора равна √128=8√2

S ∆ CKD=8√2•8:2=16√2

CH=2S∆CKD:KD=(8√2)/3 см –это ответ. 

–––––––––––––––––––––––––––––––

2) Обозначим данные плоскости α и  β

 Пусть в плоскости α лежит прямая а, параллельная m -линии пересечения плоскостей, а в плоскости β– прямая b. 

Угол между двумя плоскостями - двугранный. Его величина равна линейному углу,  образованному двумя лучами, проведенными  в плоскостях из одной точки их общей границы перпендикулярно к ней. 

Проведем из точки В  на m перпендикулярно к ней  в плоскостях α и β лучи, пересекающие прямые а и b в точках А и С соответственно. . Т.к.  прямые a и b параллельны m, то BA и ВС пересекают их под прямым углом. АВ - расстояние от прямой а до m, СВ - расстояние от b до m. 

Искомое расстояние - отрезок АС, проведенный между а и b перпендикулярно к ним. 

Проведем в ∆ АВС высоту СН. 

СН=СВ•sin30°=√3

ВН=ВС•cos30°=3

В прямоугольном ∆ АСН катет АН=АВ-ВН=5.

По т.Пифагора 

АС=√(AH²+CH²)=√(3+25)=2√7 см