В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность, длина радиуса которой равна 9 см. Касательная l к окружности, параллельная прямой AC, пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно. Известно, что BP : PA = 1 : 3. Вычислите периметр четырехугольника APTC.

Заданный четырёхугольник АРТС - равнобедренная трапеция.В соответствии с заданием треугольники ВРТ и ВАС подобны с коэффициентом 1:4.Обозначим точку касания окружности с отрезком РТ как точка F, а отрезок ВР за х, боковая сторона трапеции равна 3х.Диаметр окружности и отрезок BF относятся как 1:3, поэтому BF = 18/3 = 6 см, а PF = √(х² - 36).Верхнее основание трапеции - отрезок РТ равен 2√(х² - 36), а нижнее - в 4 раза больше, то есть АС = 8√(х² - 36).По свойству вписанной окружности суммы оснований и боковых сторон равны.3х + 3х = 2√(х² - 36) + 8√(х² - 36).6х = 10√(х² - 36). Возведём обе части в квадрат.64х² = 100х² - 3600.64х² = 3600. х = √3600/√64 = 60/8= 15/2.Периметр АРТС равен (3х + 3х)*2 = 12х = 12*(15/2) = 6*15 = 90 см.